Persamaan Kuadrat

download (1)  Sebuah persamaan kuadrat adalah golongan kedua  persamaan polynomial dalam variable tunggal x.

Image

Dengan  a≠0. Karena persamaan kuadrat merupakan golongan kedua persamaan polynomial, teorema dasar aljabar membuktikan bahwa itu memiliki dua solusi. Bisa keduanya real atau keduanya complex.

Akar x dapat ditentukan dengan melengkapi kuadrat sempurna .

Image

Penyelesaian x diberikan dengan

Image

Persamaan ini dikenal dengan formula kuadrat.

solusi pertam ayang diketahui dari sebuah persamaan kuadrat adalah seperti yang dijelaskan di Berlin Papyrus dari Middle Kingdom  (ca. 2160-1700 BC) di mesir masalah ini diturunkan untuk menyelesaikan

Image

(Smith 1953, p. 443).orang Yunani bisa menyelesaikan persamaan kuadrat dengan metode geometri dan Euclid’s. dalam studinya tentang aritmetika, matematikawan Yunani Diophantus   (ca. 210-290) telah menyelesaikan persamaan kuadrat, namun hanya memberika 1 akar, meskipun ketika kedua akrnay positif (Smith 1951, p. 134).

bentuk alternatif persamaan kuadrat adalah dengan membagi dengan x^2.

Image

Image oleh karena itu,

Image

bentuk ini sangat membantu jika b^2 > 4ac. (> menyatakan lebih besar), dimana dalam beberapa kasus bentuk umum persamaan kuadrat dapat memberikan hasil numerik yang tidak akurat untuk satu dari banayk akar-akarnya.hal ini dapat dihindari dengan menedefinisikan

Image

sehingga b dan bentuk dibawah  tanda akar kuadrat selalu memiliki tanda yang sama, jika b>0 lalu

Image

maka,

Image

begitu juga untuk b<0, lalu

Image

maka

Image

oleh karena itu, akar-akar selalu diberikan dengan x_1=q/a and x_2=c/q.

sekarang untuk persamaan yang diekspresikan dalam bentuk

Image

yang solusinya adalah  z_1 dan z_2. solusi tersebut bisa dijelaskan dengan Rumus Vieta. 

Image

sifat polinomial simetris diperlihatkan dalam formula vieta kemudian mengahsilkan

Image

Image

diberikan sebuah polinomial bilangan bulat positif kuadrat x^2+ax+b. terdiri dari jum;ah polinom yang dapat difaktorkan dari beberapa himpuan bilangan bulat positif S subset Z. contoh,  S={1,2,3,4} mempunyai empat bentuk polinom

Image

tabel dibawah ini perhitungan polinom yang dapat difaktorkan untuk contoh sederhana S subset Z dan n kecil. alur fraksi polinom  yang dapat difaktorkan untuk  S={-n,...,n-1,n} (merah), S={0,1,...,n} (biru), and S={1,2,...,n} (hijau)  juga diilustrasikan diatas. rangkaian untuk  [-n,n] memiliki bentuk

Image

dimana  d(n)=sigma_0(n) adalah jumlah pembagi n dan  chi_(n^2)(n) adalah fungsi karakteristik dari bilangan kuadrat. 

Image

untuk lebih jelasnya lihat di http://mathworld.wolfram.com/QuadraticEquation.html

Referensi:

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p. 17, 1972.

Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 9, 1987.

Borwein, P. and Erdélyi, T. “Quadratic Equations.” §1.1.E.1a in Polynomials and Polynomial Inequalities. New York: Springer-Verlag, p. 4, 1995.

Courant, R. and Robbins, H. What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 91-92, 1996.

King, R. B. Beyond the Quartic Equation. Boston, MA: Birkhäuser, 1996.

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. “Quadratic and Cubic Equations.” §5.6 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 178-180, 1992.

Sloane, N. J. A. Sequences A067274A091626, and A091627 in “The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.”

Smith, D. History of Mathematics, Vol. 1. New York: Dover, 1951.

Smith, D. History of Mathematics, Vol. 2. New York: Dover, 1953.

Spanier, J. and Oldham, K. B. “The Quadratic Function ax^2+bx+c and Its Reciprocal.” Ch. 16 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 123-131, 1987.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s